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Archimedische Körper

Neben den fünf platonischen Körpern sowie unendlich vielen Prismen und Antiprismen gibt es, je nach Zählweise, 13 bzw. 15 (s.u.) konvexe Polyeder, welche als archimedische Körper bezeichnet werden.
Platonische Körper, Prismen und Antprismen sind keine archimedischen Körper.


Definition

  • Archimedische Körper sind konvexe Polyeder, deren Seitenflächen regelmäßige Vielecke (Polygone) sind und deren Ecken dieselbe Charakteristik (d.h. zyklische Folge von Vielecken) haben. Die Ecken eines solchen Körpers können nicht voneinander unterschieden werden und sich zueinander völlig gleich verhalten (sog. Uniformität der Ecken).
  • Es gibt genau 13 archimedische Körper. Von zweien dieser Körper existieren zwei spiegelbildliche Varianten, welche nicht durch Drehung ineinander übergeführt werden können. Diese werden gelegentlich doppelt gezählt, sodaß sich dadurch 15 Körper ergeben.
  • Alle Kanten eines archimedischen Körpers sind gleich lang, weil die Seitenflächen regelmäßige Polygone sind.
  • Aus der globalen Uniformität der Ecken folgt die lokale Uniformität der Ecken, d.h. an jeder Ecke treffen (im Uhrzeigersinn abgelesen), dieselben Typen von Polygonen zusammen.
  • Aus der lokalen Uniformität der Ecken folgt jedoch nicht die globale Uniformität. Gegenbesipiel: der Pseudo-Rhombenkuboktaeder (s.u.).
  • Jeder archimedische Körper kann durch Abstumpfen eines platonischen Körpers erzeugt werden. Das heißt, daß durch Abschneiden beliebiger Flächen des Körpers diese -jedoch verkleinert- als Flächen des abgestumpften Körpers erhalten bleiben.
  • Zu jedem archimedischen Körper gibt es einen dual-archimedischen Körper

Die archimedischen Körper

Bezeichnung

Flächen

Kanten

Ecken

Dual-Archimedischer Körper

Kuboktaeder

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14

24

12

Rhombendodekaeder (12 Flächen)

Ikosidodekaeder Rhombentriakontaeder

32

60

30

Rhombentriakontaeder (30 Flächen)

Triaksitetraeder Abgestumpftes Tetraeder

8

18

12

Triakistetraeder (12 Flächen)

Triakisoktaeder
Abgestumpftes Hexaeder

Kristalle:Triakisoktaeder

14

36

24

Triakosoktaeder (24 Flächen)

Tetrakishexaeder
Abgestumpftes Oktaeder

14

36

24

Tetrakishexaeder (24 Flächen)

Triakisikosaeder
Abgestumpftes Doedekaeder

32

90

60

Triakisikosaeder (60 Flächen)

Pentakisdodekaeder
Abgestumpftes Ikosaeder

32

90

60

Pentakisdodekaeder (60 Flächen)

Trapezoidikositetraeder
Kleines Rhombenkuboktaeder

26

48

24

Deltoidikositetraeder (24 Flächen)

Hexakisoktaeder
Großes Rhombenkuboktaeder

Kristalle:Hexakisoktaeder

26

72

48

Hexakisoktaeder (48 Flächen)

Pentakisdokeaeder Trapezoidhexakontaeder
Kleines Rhombenikosidodekaeder

62

120

60

Deltoidhexakontaeder (60 Flächen)

Hexakisikosaeder
Großes Rhombenikosidodekaeder

62

180

120

Hexakisikosaeder (120 Flächen)

Pentagonalikositetraeder
Abgeschrägtes Hexaeder

38

60

24

Pentagonikositetraeder (24 Flächen)
(2 spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten)

Pentagonalhexakontaeder
Abgeschrägtes Dodekaeder

92

150

60

Pentagonhexakontaeder (60 Flächen)
(2 spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten)

Pseudo-Rhombenkuboktaeder
(oder als Miller's Solid, bzw. Johnson Körper J37 bezeichnet)

Im Jahr 1934 entdeckte der britische Mathematiker Miller, daß es ein konvexes Polyeder gibt, welches die lokale Uniformität der Ecken erfüllt, jedoch bisher nicht als archimedischer Körper erkannt worden war. Dieses Polyeder entsteht, wenn man beim Rhombenkuboktaeder eine Kappe um 45° verdreht. Dieser Körper wird manchmal als 14. archimedischer Körper bezeichnet. Zur Charakteristik dieses Pseudo-Kuboktaeders gibt es zwei nicht kongruente archimedische Körper; wobei, wenn die Drehgruppe transitiv auf den Ecken operiert, der Pseudo-Rhombenkuboktaeder wegfällt. (www.mathematik.uni-bielefeld; s.u.)


Literatur


Quellangaben


Einordnung