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Symmetrie


Symmetrie (allgemein),

Ebenmaß; Aufbau des Ganzen, bei dem sich beide Hälften spiegelbildlich entsprechen.


Symmetrie (Geometrie)

spezielle Lagebeziehung zwischen den Punkten eines geometrischen Gebildes (bzw. zweier Gebilde untereinander) bezüglich einer Ebene, einer Geraden oder eines Punktes.

In der Ebene unterscheidet man die folgenden Symmetriearten:

  1. zentrale (Punkt-)Symmetrie: Zwei Punkte liegen symmetrisch zu einem Punkt (dem Symmetriezentrum), wenn sie von diesem gleichen Abstand haben und mit ihm auf einer Geraden liegen; der eine Punkt geht dabei durch Spiegelung am Symmetriezentrum aus dem anderen hervor (Punktspiegelung). Eine Figur heißt (in sich) punktsymmetrisch, wenn jeder ihrer Punkte durch Punktspiegelung aus einem anderen hervorgeht (z. B. der Kreis ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt).
  2. axiale (Achsen-)Symmetrie: Zwei Punkte liegen symmetrisch zu einer Geraden (Symmetrieachse genannt), wenn ihre Verbindungsstrecke durch diese halbiert wird und auf ihr senkrecht steht; der eine geht durch eine Achsenspiegelung an der Symmetrieachse aus dem anderen hervor; zwei zueinander achsensymmetrische Figuren sind ungleichsinnig kongruent. Eine Figur heißt (in sich) achsensymmetrisch, wenn sie aus achsensymmetrischen Punktepaaren besteht (z. B. die Parabel).
  3. radiale (Dreh-)Symmetrie: Eine Figur heißt (in sich) radialsymmetrisch, wenn nach einer Drehung um bestimmte Winkel um einen festen Punkt die gedrehte Figur die ursprüngliche genau deckt (z. B. ein gleichseitiges Dreieck). Die Größe des Drehwinkels bestimmt die "Zähligkeit"; zum Beispiel besitzt ein Sechseck eine 6-zählige Symmetrie, weil der Drehwinkel 60° beträgt.

Entsprechendes gilt auch für Raumsymmetrien. Ferner heißt ein Körper rotationssymmetrisch, wenn er gegenüber beliebigen Drehungen um seine Symmetrieachse invariant ist.


Symmetrie (Kristallographie)

Die Gesetzte, nach denen die Flächen im Kristall angeordnet sind, äußern sich am klarsten in der Regelmäßigkeit, mit der die gleichen Flächen und gleichen Winkel an den Kristallen verteilt sind, oder mit anderen Worten in der Symmetrie der Kristallform.

Oft kann man einen Kristall durch eine Ebene so in 2 Hälften geteilt denken, dass die Hälfte das Spiegelbild der anderen ist. D.h., dass die Flächen und Winkel der einen Hälfte des Kristalls gleiche Flächen und Winkel der anderen Hälfte spiegelbildlich gegenüber liegen. Eine solche Ebene nennt man Spiegelebene (oder Symmetrieebene). So lässt sich durch den Kristall in Bild 3 durch die Ecken E eine Spiegelebene legen. Denkt man sich den Kristall in dieser Ebene durchschnitten (Bild 4), so ist die eine Hälfte Spiegelbild der anderen, die breite sechseckige Fläche vorne und hinten wird genau halbiert, und jeder Fläche jeder Fläche in der linken Hälfte liegt eine ihr gleiche in der rechten Hälfte, und jedem Winkel in der linken Hälfte liegt ein ihm gleicher in der rechten Hälfte spiegelbildlich gegenüber. Nur durch diese Ebene kann ich den in Bild 1 dargestellten Kristall in zwei spiegelbildlich gleiche Hälften teilen, durch keine andere, er besitzt daher nur eine Spiegelebene.

BILD:1146413123

Bild 3, Ein kristall mit einer durch EEEE gehenden Spiegelfläche (Augit)

BILD:1146413230

Bild 4, Der selbe Kristall in Richtung der Spiegelebene durchschnitten


Die Kristallformen gleichen einander und unterscheiden sich durch die Zahl der Spiegelebenen, die durch sie hindurch gelegt werden können. Durch manche Kristalle kann man überhaupt keine Spiegelebene legen (Bild 73),

BILD:1146413800

Bild 73 Trikliner Kristall Albit

durch andere nur eine (Bild 3 u. 72),

BILD:1146413123

Bild 3, Ein kristall mit einer durch EEEE gehenden Spiegelfläche (Augit)

BILD:1146413850

Bild 72 Vereinigung von Kristallprisma (T) Längsfläche (M) Basis (P), zwei hinteren Schiefendflächen (x,y) und einer hinteren Pyramide (o). Feldspat


durch wieder andere drei (Bild 63 - 70),

BILD:1146416957

Bild 63 Rhombische Pyramide

BILD:1146416991

Bild 64 Vertikalprisma

BILD:1146417020

Bild 65 Längsprisma mit Vertikalprisma

BILD:1146430359

Bild 66 Querprisma mit Vertikalprisma

BILD:1146430386

Bild 67 Die drei rhombischen Endflächen

BILD:1146430651

Bild 68 Vereinigung von zwei rhombischen Vertikalprismen mit einer Pyramide. Topas

BILD:1146430670

Bild 69 Olivin

BILD:1146430683

Bild 70 Pyramide mit einer stumpferen Pyramide, der Basis und einem Längsprisma. Schwefel


fünf (Bild 52-62),

BILD:1146431752

Bild 52 Quadratische Pyramide erster Stellung

BILD:1146431783

Bild 53 Quadratische Pyramide zweter Stellung

BILD:1146431797

Bild 54 Dioktaeder

BILD:1146431828

Bild 55 Quadratisches Prisma erster Stellung

BILD:1146431842

Bild 56 Quadratisches Prisma zweiter Stellung

BILD:1146431856

Bild 57 Achtseitiges Prisma

BILD:1146431891

Bild 58 Prisma und Pyramide gleicher Stellung. Zirkon

BILD:1146431920

Bild 59 Zwei Pyramiden gleicher Stellung

BILD:1146432074

Bild 60 Prisma und Pyramide verschiedener Stellung. Zirkon

BILD:1146432127

Bild 61 Prisma zweiter Stellung mit Pramide erster Stellung und Basis. Apophyllit

BILD:1146432187

Bild 62 Prisma zweiter Stellung mit Pyramide erster Stellung und einem Dioktaeder. Zirkon


sieben (Bild 37-46)

BILD:1146432748

Bild 37 hexagonale Pyramide erster Stellung

BILD:1146432781

Bild 38 hexagonale Pyramide zweiter Stellung

BILD:1146432795

Bild 39 Dihexagonale Pyramide

BILD:1146432862

Bild 40 hexagnales Prism erster Stellung. Kalkspat

BILD:1146433151

Bild 41 hexagonales prisma zweiter Stellung. Korund

BILD:1146433182

Bild 42 Dihexagonales Prisma

BILD:1146433376

Bild 43 Prisma und Pyramide gleicher Stellung

BILD:1146433410

Bild 44 Zwei Pyramiden gleicher stellung

BILD:1146433705

Bild 45 Prisma und Pyramide verschiedener Stellung

BILD:1146433766

Bild 46 Zwei Pyramiden verschiedener Stellung


oder neun (Bild 7-22). Kristalle, durch die man mehr als neun Spiegelebenen legen könnte, gibt es nicht.

BILD:1146434184

Bild 7 Oktaeder. Magneteisen

BILD:1146434484

Bild 8 Pyramidenoktaeder

BILD:1146434514

Bild 9 Ikositetraeder. Leucit

BILD:1146434963

Bild 10 Achtundvierzigflächner. Diamant

BILD:1146435240

Bild 11 Rhombendodekaeder. Granat

BILD:1146436034

Bild 12 Phyramidenwürfel. Fluorit

BILD:1146436066

Bild 13 Würfel. Steinsalz

BILD:1146436078

Bild 14 Oktaeder mit Würfel. Bleiglanz

BILD:1146436091

Bild 15 Oktaeder mit Rhombendodekaeder. Spinell

BILD:1146436128

Bild 16 Oktaeder mit Phyramidenoktaeder. Bleiglanz

BILD:1146436156

Bild 17 Würfel mit Oktaeder. Bleiglanz

BILD:1146436451

Bild 18 Würfel mit Rhombendodekaeder. Fluorit

BILD:1146436481

Bild 19 Würfel mit Pyramidenwürfel. Fluorit

BILD:1146436533

Bild 20 Rhombendodekaeder mit Würfel und Oktaeder

BILD:1146436592

Bild 21 Rhombendodekaeder Ikositetraeder. Granat

BILD:1146436651

Bild 22 Rhombendodekaeder mit Achtundvierzigflächner

BILD:1146416434

Bild 5 Kristall mit 3+6 Spiegelebenen

Die Spiegelebenen gehen häufig Kristallflächen parallel. Sind diese einander gleichwertig, so sind diese auch die Spiegelebenen. In einem Kristall wie dem in Bild 5 dargestellten sind die den beiden quadratischen Flächen parallelen Spiegelebenen einander gleichwertig. Ebenso sind die den sechseckigen Flächen parallelen Spiegelebenen, welche durch die Diagonalen der quadratischen Flächen verlaufen, einander gleichwertig, aber von den ersteren verschieden. Der Kristall besitzt 3+6 Spiegelebenen.

Eine Spiegelebene, welche zu anderen unter sich gleichensenkrecht ist, wird Hauptspiegelebene genannt. Der Kristall in Bild 5 besitzt derer 3.

Eine andere Art der Regelmäßigkeit in der Verteilung von Flächen lässt sich daran erkennen, dass an einer Kante oder Ecke zwei oder mehr gleiche Flächen und Winkel liegen. Wenn ich daher den Kristall um eine durch diese Kante oder Ecke gelegte Achse drehe, so kommt er nach einer gewissen Umdrehung mit sich selbst zur Deckung. Manche Kristalle bei einer vollen Umdrehung um 360° nur zweimal, andere drei-, vier-, oder fünfmal. Eine solche Achse nennt man eine Drehachse (oder Symmetrieachse) und sie ist zwei-, drei-, vier,- oder sechszählig, je nachdem an jener Kante oder Ecke zwei (Bild 65,66), drei (Bild 48), vier (Bild 52), sechs gleiche Flächen (Bild 37,38) auftreten.

BILD:1146438607

Bild 48 Rhomboeder. Kalkspat

Endlich sieht man an möglichst ringsum ausgebildeten Kristallen leicht, dass an den meisten zu jeder Fläche eine gleichwertige, parallele Gegenfläche auftritt, bei manchen aber auch nicht (Bild. 23). Von den ersteren sagt man, sie haben ein Symmetriezentrum, bei den anderen fehlt dies.

Es gibt nun Kristalle, die gar keins von diesen Symmetrieelementen besitzen, andere die wenigstens ein Symmetriezentrum haben, andere, die eine Spiegelebene, eine Deckachse und ein Symmetriezentrum besitzen und an der Spitze stehen solche mit neun Spiegelebenen, 13 Deckachsen und einem Symmetriezentrum, dazwischen stehen Kristalle mit anderen Symmetriegraden. Im ganzen sind 32, in ihrer Symmetrie unterschiedene, selbstständige Kristallklassen möglich.

siehe auch > Kristallsystem


Quellangaben


Einordnung