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Symmetrieelemente

Betrachtet man die Struktur von Kristallen, erkennt mam meistens verschiedene Arten von Symmetrien, wie Translationen, Spiegelungen oder Drehsymmetrien. Der Grund für das Auftreten dieser Symmetrien liegt darin, daß bestimmte Atomanordnungen in der Struktur besonders stabil sind; eine hohe Symmetrie erlaubt dann die ständige Wiederholung dieser besonders stabilen Konfigurationen in der Struktur.

Die Beschäftigung mit der Symmetrie von Kristallen in der Kristallographie ist aus mehreren Gründen besonders wichtig:

  • Kennt man die Symmetrie einer Kristallstruktur, so kann man sie leicht beschreiben. Die Bestimmung einer unbekannten Struktur wird erheblich vereinfacht wenn man Informationen über ihre Symmetrie besitzt.
  • Symmetrieeigenschaften sind sehr nützlich zur Identifizierung von Mineralen.
  • Die Symmetrie eines Kristalls beeinflußt seine physikalischen Eigenschaften. Die Richtungsabhängigkeit (Anisotropie) von Eigenschaften wird durch die Kristallsymmetrie bestimmt. Einige Eigenschaften wie Doppelbrechung, Piezoelektrizität, Pyroelektrizität etc treten nur bei bestimmten Kristallsymmetrien auf, bei anderen sind sie verboten.

Symmetrieoperationen und Symmetrieelemente von Kristallen

Drehungen:

Es existieren 2-, 3-, 4-, und 6-zählige Drehungen. Fünfzählige, siebenzählige und höherzählige Drehungen sind in Kristallstrukturen verboten. Dies hat offenbar damit zu tun, daß sich eine Ebene ( oder Raum ) nicht vollständig durch die periodische Aneinanderreihung von Fünfecken, Siebenecken etc. ausfüllen läßt. Das zugehörige Symmetrieelement bezeichnet man als n-zählige Drehachse.

Symmetrieoperation

Symmetrielement

Symbol

Zeichen

zweizählige Drehung

zweizähliger Drehpunkt

Ellipse

2

dreizählige Drehung

dreizähliger Drehpunkt

Dreieck

3

vierzählige Drehung

vierzähliger Drehpunkt

Viereck

4

sechszählige Drehung

sechszähliger Drehpunkt

Sechseck

6

Vierzählige Drehpunkte sind gleichzeitig zweizählige; sechszählige Drehpunkte enthalten auch zwei- und dreizählige.

Spiegelungen:

Hier wird die Verbindungsstrecke zwischen Punkt P und Spiegelpunkt von der gegebenen Ebene (der Spiegelebene) rechtwinklig halbiert. Zugehöriges Symmetrieelement: Spiegelebene m.

Inversion:

Eine Drehung um 180° bezüglich eines Drehzentrums Z bezeichnet man auch als Punktspiegelung oder Inversion am Zentrum Z. Jedem Punkt P wird ein Spiegelpunkt P' zugeordnet, der dadurch bestimmt ist, dass Z der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke PP' ist. Zugehöriges Symmetrieelement: Inversionszentrum, bezeichnet mit dem Hermann-Mauguin-Symbol: 1

Drehinversion:

Die Symmetrieoperation besteht aus einer Drehung und unmittelbar darauf folgender Punktspiegelung. Die Drehinversion hat eigentlich nur einen Fixpunkt, man definiert aber als Symmetrieelement die zugehörige Drehachse als Drehinversionsachse. Eine vierzählige Drehinversionsachse 4 ist ein Symmetrieelement, das nicht auf andere Weise beschrieben werden kann. Dagegen ist die zweizählige Drehinversion identisch mit einer Spiegelung (senkrecht zur Achse) und die sechszählige Drehinversion eine Kombination von einer dreizähligen Drehachse und einer senkrecht dazu stehenden Spiegelebene. Tritt in einer Richtung an einem Kristall eine Drehachse n (z.B. 6) und senkrecht dazu eine Spiegelebene m auf, so wird dies als n/m - gesprochen "n über m" - abgekürzt.

Translationen:

Um die Translationssymmetrie zu erklären ist es sinnvoll, dies anhand zweidimensionaler, periodisch aufgebauter Strukturen zu tun. Dies können beliebige Muster sein, oder Projektionen von Kristallstrukturen in die Ebene.

Eine anschauliche Beschreibung der Translationssymmetrie liefert das Punktgitter: Man konstruiert das Punktgitter, indem man einen beliebigen Punkt herausgreift. Läßt man von diesem Punkt alle Translationsvektoren - diese geben den Betrag und die Richtung von Verschiebungen an welche die Struktur in sich überführen - ausgehen, so bilden die Endpunkte dieser Vektoren das Punktgitter.
Das entstehende Parallelflach (in der Ebene: Parallelogramm) das von drei (in der Ebene: 2) voneinander unabhängigen, kürzesten Gittervektoren aufgespannt wird, nennt man eine primitive Elementarzelle der Struktur.

VIEW.php?param=1118557714.max

Masche des Punktgitters einer zweidimensionalen Struktur, aufgespannt von den Gittervektoren x,y

Kombinationen von Symmetrieelementen

  • zwei Drehungen: Gibt es Drehpunkte der Zähligkeit M1 und M2 in einer Struktur, so gibt es auch Drehpunkte der Zähligkeit V(M1, M2), wobei V der kleinste gemeinsame Vielfache ist.
  • zwei Spiegellinien: Schneiden sich zwei Spiegellinien unter dem Winkel α, so ist auch die Drehung mit dem Winkel 2α um den Schnittpunkt eine Symmetrieoperation - es entsteht ein Drehpunkt mit der Zähligkeit n=180°/α
  • Spiegelung und Drehung: Die Kombination einer Spiegelung m mit der Drehung n=2, deren Drehachse und Ebenennormale einen Winkel α einschließen, erzeugen eine Inversionsdrehung mit einem Drehwinkel 2α, deren Inversionsachse senkrecht auf der Ebene der Ausgangselemente steht.
  • Ist n gerade so ergibt die Kombination von Drehung n und Inversionszentrum n/m. Ist n ungerade, so ist die Kombination aus n und Inversionszentrum 1 eine n-zählige Drehinversion.

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Quellangaben


Einordnung